Perkembangan Alam Pikiran Manusia

BAGAIMANA ALAM PIKIRAN MANUSIA BERKEMBANG

Pada dasarnya manusia merupakan makhluk hidup ciptaan Tuhan yang paling sempurna dalam persaingan hidup di muka bumi ini. Meski banyak keterbatasan fisik, seperti diantaranya : ukuran, kekuatan, kecepatan, dan panca indera. Keberhasilan tersebut disebabkan karena manusia memiliki akal yang lebih baik daripada makhluk lainnya, yang memungkinkan manusia lebih mudah untuk beradaptasi dengan lingkungan sekitarnya. Karna itu alam pikir manusia dapat berkembang dengan kemampuan berfikir dan bernalar manusia, akal serta nuraninya yang memungkinkan untuk selalu berbuat yang lebih baik lagi dan bijaksana untuk dirinya maupun lingkungan sekitarnya.

Pengetahuan yang terkumpul dan semakin maju menyebabkan rasa ingin tahu manusia semakin berkembang. Rasa ingin tahu pada manusia ini menyebabkan pengetahuan mereka dapat berkembang setiap hari, mereka mengamati benda-benda dan peristiwa yang terjadi dialam sekitarnya. Manusia tidak akan pernah merasa puas jika belum memperoleh jawaban mengenai apa yang diamatinya, rasa ingin tahu semacam itu yang tidak dimiliki oleh hewan. Manusia merupakan makhluk hidup yang berakal serta mempunyai derajat yang tertinggi bila dibandingkan dengan hewan atau makhluk lainnya. Rasa ingin tahu yang terdapat pada manusia ini yang menyebabkan pengetahuan mereka menjadi berkembang.

Dan dengan sifat keingintahuan manusia yang besar, manusia selalu berusaha mencari keterangan tentang fenomena alam dan pengetahuan-pengetahuan yang sangat banyak, mungkin karena itu lah secara tidak langsung alam pikiran manusia dapat berkembang. Dan mungkin karena teknologi juga yang semakin berkembang sesuai zamannya, sehingga sejalan dengan cara berfikir manusia yang memudahkan manusia untuk mencari informasi dan ilmu pengetahuan yang sangat banyak, sehingga membuat alam pikir manusia semakin berkembang dan berkembang lagi.

 Manusia secara terus menerus selalu mengembangkan pengetahuan. Mereka mengembangkan pengetahuan tidak hanya sekedar untuk memenuhi kebutuhan yang menyangkut kelangsungan hidupnya saja. Mereka juga berusaha untuk mengetahui mana yang benar dan mana yang salah. Perkembangan pengetahuan pada manusia juga didukung oleh adanya sifat manusia yang ingin maju, sifat manusia yang selalu tidak puas dan sifat yang lebih baik. Mereka selalu berusaha mengerti atau memperoleh pengetahuan yang lebih banyak. Dengan demikian, Akumulasi pengetahuan akan berlangsung lebih cepat.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa bagaimana alam pikiran manusia dapat berkembang karena dengan kemampuan manusia untuk berfikir dan bernalar serta sifat keingintahuan manusia yang sangat besar.

Logika

Pengertian Logika

Secara etimologi, istilah Logika berasal dari bahasa Yunani, yaitu logos yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga ilmu pengetahuan. Dalam arti luas, Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang tepat dengan penalaran yang tidak tepat.

Jika kita membahas logika, kita akan berkenalan dengan penalaran. Penalaran merupakan penjelasan dalam upaya memperlihatkan hubungan antara dua hal atau lebih berdasarkan sifat-sifat atau hukum-hukum tertentu yang sudah diakui kebenarannya dengan langkah-langkah tertentu yang berakhir dengan sebuah kesimpulan. Dengan kata lain, penalaran dapat diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen.

Dalam Logika, kita mempelajari dan meneliti apakah sebuah penalaran yang telah kita lakukan itu tepat atau tidak. Untuk dapat berpikir dengan tepat, Logika menawarkan sejumlah aturan atau kaidah-kaidah yang harus diperhatikan agar kesimpulan yang kita peroleh hasilnya tepat.

Orang yang pertama kali merintis dan mempelopori Logika adalah Aristoteles, seorang filsafat Yunani yang hidup pada 348-322 SM. Ia mengobservasi dan mencatat hukum-hukum dari logika formal, yaitu logika yang kesahihan dari langkah-langkahnya dipandang hanya berdasarkan bentuk dari rangakaian langkah-langkah itu dan tidak bergantung pada materi persoalan sehingga berlaku baik di ilmu alam, ilmu kimia, maupun ilmu-ilmu lain serta dalam kehidupan sehari-hari.

Sebagai contoh:

Premis 1 : Semua a adalah b

Premis 2 : Semua b adalah c

Kesimpulan : Semua a adalah c

Langkah di atas menghasilkan sebuah kesimpulan yang tidak tergantung pada isi a, b dan c.

Dengan mempelajari Logika ini diharapkan kita mempunyai pola berpikir yang tepat, akurat, rasional, kritis dan obyektif. Selain itu, dengan mempelajari prinsip-prinsip Logika, ini juga akan membantu kita untuk menjadi lebih efektif dalam mengenal dan menghindari kesalahan dalam penalaran, baik penalaran yang dilakukan orang lain, maupun yang dilakukan oleh diri sendiri. Seseorang yang dapat mengenal dan menghindari kesalahan logika dalam penalaran akan dapat berpikir yang jelas dan tepat, lebih baik dan lebih yakin, apapun yang mungkin merupakan pokok persoalan yang akan dihadapi.

Himpunan Semesta Pembicaraan

Kok ada himpunan semesta pembicaraan sih? Bukannya kita sekarang sedang belajar Logika Matematika? Mungkin ada diantara kalian bertanya seperti itu. Mungkin pada materi di sekolah, hal ini kurang mendapat perhatian. Karena ketika kita sedang membicarakan matematika, maka kita harus menentukan terlebih dahulu himpunan semestanya, apalagi untuk Logika Matematika. Sebab benar atau salahnya suatu pernyataaan memang dapat tergantung pada semestanya yang telah disepakati.

Sebagai contoh:

"Berapa x sehingga x + 2 = 12?"

Pasti kebanyakan kita akan menjawab x = 10.

Yap, benar. Anda tidak salah. Karena pikiran kita sudah terbentuk bahwa semesta pembicaraannya adalah semua anggota himpunan bilangan kompleks.

Tapi lain jawaban jika saya bertanya seperti ini,

"Berapa x sehingga x + 1 = 12, dengan x adalah anggota bilangan asli kurang dari 5?"

Jika Anda tahu, silahkan isi jawaban dan alasannya di kolom komentar.

Kalimat = Pernyataan?

Saya ada membaca tulisan di blog lain yang menulis bahwa kalimat itu sama seperti pernyataan. Saya ingin menekankan di sini bahwa itu adalah SALAH.

Tidak semua kalimat merupakan pernyataan, tetapi semua pernyataan merupakan sebuah kalimat. Suatu kalimat yang mengandung nilai benar ataupun salah, tetapi tidak kedua-duanya pada saat yang sama disebut kalimat deklaratif (pernyataan). Kalimat yang tidak dapat dinyatakan sebagai pernyataan dapat berupa kalimat perintah, pertanyaan, kalimat yang tidak jelas, atau kalimat yang mempunyai arti ganda (ambigu).

Sebagai contoh:

• Bilangan 7 adalah bilangan prima.
• Provinsi DKI Jakarta berpenduduk 1 juta jiwa.
• Ambilkan OHP di ruang guru!
• Astaga!
• 2x + 3 > x -1

Dari contoh di atas, kalimat pertama dan kedua adalah contoh pernyataan, dan kalimat lainnya merupakan kalimat biasa. Untuk kalimat kelima tidak disebut sebagai sebuah pernyataan karena belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat yang masih mengandung variabel bisa disebut sebagai kalimat terbuka (bisa dimasukkan apa saja). Kalimat tersebut akan menjadi sebuah pernyataan jika kita telah mengganti nilai x dengan suatu bilangan tertentu. Saya kira sampai disini Anda sudah paham perbedaan kalimat dan pernyataan.

Operasi pada Logika Matematika

Secara umum, operasi pada materi Logika matematika ada dua, yaitu operasi uner dan operasi biner. Sesuai namanya, operasi uner (Monari) adalah operasi yang hanya berhubungan dengan satu unsur, sedangkan operasi biner (Binari) adalah operasi yang berhubungan dengan dua unsur. Operasi uner dalam Logika Matematika hanya ada satu macam, yaitu operasi negasi, dan operasi biner ada empat macam, yaitu operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi.

Operasi Negasi

Negasi biasa juga disebut dengan ingkaran. Nilai kebenaran negasi sebuah pernyataan adalah kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki oleh sebuah pernyataan. Jika sebuah pernyataan itu bernilai benar, maka negasinya adalah salah, dan begitu pula sebaliknya. Untuk menyatakan negasi, kita bisa menggunakan kata "tidak".

Tabel Nilai Kebanaran Operasi Negasi

Sebagai contoh:

"Pohon ini tinggi"

Pohon ini tinggi bisa disimbolkan dengan p, negasinya bisa disimbolkan dengan atau sehingga pernyataan negasinya menjadi,

"Pohon ini tidak tinggi" atau bisa juga, "Tidak benar bahwa pohon ini tinggi"

Operasi Konjungsi

Dalam Logika Matematika, jika dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "dan", maka ini disebut sebagai operasi konjungsi. Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah ""

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Konjungsi

Kesimpulan : Operasi konjungsi bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai benar.

Sebagai contoh:

• 2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil, bernilai benar
• 2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bukan bilangan prima ganjil, bernilai salah
• 2 adalah bukan bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil, bernilai salah
• 2 adalah bukan bilangan prima genap dan 5 adalah bukan bilangan prima ganjil, bernilai salah

Operasi Disjungsi

Jika dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "atau", maka ini disebut sebagai operasi disjungsi. Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah ""

Kata "atau" bisa mempunyai dua arti yang berbeda. Jika pernyataan p v q mempunyai arti p atau q, tetapi tidak kedua-duanya, seperti ini disebut disjungsi ekslusif. Sedangkan jika pernyataan p v q mempunyai arti p atau q, atau kedua-duanya, ini disebut disjungsi inklusif (Kalau saya untuk mempermudah menghapal ini saya ingat saja kata ekslusif yang sama artinya dengan spesial / tak ada duanya).

Sebagai contoh:

• Anto dilahirkan di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di kota Yogyakarta. (disjungsi ekslusif)
• Anto dilahirkan di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di sebuah rumah sakit swasta. (disjungsi inklusif)

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Disjungsi Ekslusif

Kesimpulan : Operasi disjungsi ekslusif bernilai benar apabila salah satu pernyataan bernilai benar, tapi tidak kedua-duanya.

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Disjungsi Inklusif

Kesimpulan : Operasi disjungsi inklusif bernilai benar apabila salah satu pernyataan tersebut bernilai benar.

Catatan : Operasi disjungsi yang sering digunakan dalam pelajaran Logika Matematika di sekolah adalah operasi disjungsi inklusif.

Sebagai contoh:

• 2 adalah bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, bernilai benar
• 2 adalah bilangan genap atau 2 adalah bukan bilangan prima, tetap bernilai benar
• 2 adalah bukan bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, tetap bernilai benar
• 2 adalah bukan bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, baru bernilai salah

Operasi Implikasi

Jika dua pernyataan mengandung bentuk "jika ... maka ...", maka ini disebut sebagai operasi implikasi. Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan operasi ini adalah "".

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Implikasi

Kesimpulan : Operasi implikasi bernilai benar apabila pernyataan kedua bernilai benar, atau kedua pernyataan tersebut bernilai sama.

Sebagai contoh:

• Jika air habis, maka manusia akan mati, bernilai benar
• Jika air habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai salah
• Jika air tidak habis, maka manusia akan mati, bernilai benar
• Jika air tidak habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai benar

Contoh di atas saya rasa sudah cukup untuk menjawab pertanyaan "Kenapa jika B maka S hasilnya S, sedangkan jika S maka B hasilnya B?" Karena belum tentu penyebab manusia mati hanya karena air habis, kan?

Operasi Biimplikasi

Jika dua pernyataan mengandung bentuk " ... jika dan hanya jika ...", maka ini disebut sebagai operasi biimplikasi. Saya lebih suka menyebut hubungan ini "persyaratan". Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah "".

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Biimplikasi

Kesimpulan : Operasi biimplikasi bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai sama.

Sebagai contoh:

• Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, bernilai benar
• Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, ya salah kan?
• Jantung tidak berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, salah juga kan?
• Jantung tidak berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, baru benar

Syarat manusia hidup adalah jantung berdetak, dan syarat jantung berdetak adalah manusia hidup. Kedua hal tersebut tidak dapat dipisahkan satu sama lain. Inilah yang saya maksud dengan hubungan "persyaratan".

Pernyataan Berkuantor

Seperti yang sudah dibahas, 2x + 3 > x -1 adalah kalimat terbuka (yang mengandung variabel) dan bukan sebuah pernyataan. Untuk mengganti kalimat terbuka tersebut menjadi sebuah pernyataan, kita harus mengganti variabel (x) yang ada dengan suatu nilai. Cara lainnya untuk mengganti kalimat terbuka menjadi sebuah pernyataan adalah dengan menggunakan kuantor. Kuantor sendiri dibagi menjadi dua, yaitu kuantor umum (kuantor universal) dan kuantor khusus (kuantor eksistensial).

Kuantor Umum (Kuantor Universal)

Untuk menyatakan kuantor universal, kita bisa menggunakan ungkapan "Untuk setiap" atau "Untuk semua". Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan kuantor umum adalah A terbalik, "".

Sebagai contoh:

x > 0 merupakan kalimat terbuka.

Jika saya ganti menjadi "Untuk setiap x bilangan asli, berlaku x positif (x >0)", apakah bisa kita menyatakan salah atau benar? Bisa, bukan? Jawabannya adalah benar karena 1, 2, 3 dst itu selalu lebih besar dari 0. Dan jika bisa ada nilai kebenarannya, maka ini disebut sebagai pernyataan. Simbol matematikanya adalah

Untuk contoh pernyataan berkuantor universal yang bernilai salah dapat dilihat apabila saya ganti pernyataannya dengan, "Untuk setiap x bilangan asli, x > 2". Kenapa salah? Karena 1 adalah bilangan asli, sedangkan 1 tidak lebih besar daripada 2. Jadi, tidak semua bilangan asli lebih dari 2 dan dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut bernilai salah.

Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)

Untuk menyatakan kuantor khusus, kita bisa menggunakan ungkapan "Ada", "Terdapat", "Paling sedikit satu", atau "Beberapa". Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan kuantor khusus adalah E terbalik, ""

Sebagai contoh:

x > 1 merupakan kalimat terbuka

Jika saya ganti menjadi "Terdapat x bilangan asli sedemikian sehingga x > 1", apakah bisa kita menyatakan salah atau benar? Sekali lagi bisa. Dan jawabannya benar karena 2 > 1 sedangkan 2 adalah anggota bilangan asli. Jadi ini bisa disebut sebagai suatu pernyataan. Simbol matematikanya adalah

Untuk contoh pernyataan berkuantor eksistensial yang bernilai salah dapat dilihat apabila saya ganti pernyataannya dengan, "Terdapat x bilangan asli sedemikian rupa sehingga x < 1". Kenapa salah? Karena tidak ada lagi bilangan asli yang lebih kecil dari 1. Jadi, tidak terdapat bilangan asli yang kurang dari 1 dan dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut bernilai salah.

Negasi Pernyataan Berkuantor

Coba kita melihat pernyataan ini, "Semua manusia pasti mati". Pernyataaan ini bernilai benar.

Negasi dari pernyataan ini adalah "Tidak semua manusia pasti mati", ini sama artinya dengan "Terdapat manusia yang tidak pasti mati". Dan pernyataan ini bernilai salah. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa negasi yang telah kita buat sudah benar.

Simbol Matematis Negasi Kuantor Universal

Sekarang coba lihat pernyataan ini, "Terdapat tinggi badan manusia yang kurang dari 120 cm". Pernyataan ini bernilai benar.

Negasi dari pernyataan ini adalah "Tidak terdapat tinggi badan manusia yang kurang dari 120 cm", ini sama artinya dengan "Semua tinggi badan manusia lebih dari 120 cm". Dan pernyataan ini bernilai salah. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa negasi yang telah kita buat sudah benar.

Simbol Matematis Negasi Kuantor Eksistensial

Kesimpulan: (1) Negasi universal = eksistensial; dan (2) Negasi eksistensial = universal

Proposisi

Proposisi adalah “pernyataan dalam bentuk kalimat yang memiliki arti penuh, serta mempunyai nilai benar atau salah, dan tidak boleh kedua-duanya”.

Maksud kedua-duanya ini adalah dalam suatu kalimat proposisi standar tidak boleh mengandung 2 pernyataan benar dan salah sekaligus.

Rumus ketentuannya :

Q +  S  +  K  +  P

Keterangan :

Q : Pembilang / Jumlah

(ex: sebuah, sesuatu, beberapa, semua, sebagian, salah satu, bilangan satu s.d. tak terhingga)

Q boleh tidak ditulis, jika S (subjek) merupakan nama dan subjek yang pembilang nya sudah jelas berapa jumlahnya :

a. Nama (Pram, Endah, Ken, Missell, dll)

b. Singkatan (PBB, IMF, NATO, RCTI, ITC, NASA, dll)

c. Institusi (DPRD, Presiden RI, Menteri Keuangan RI, Trans TV, Bank Mega, Alfamart, Sampurna, Garuda Airways, dll)

S : Subjek adalah sebuah kata atau rangkaian beberapa kata untuk diterangkan atau kalimat yang dapat berdiri sendiri (tidak menggantung).

K : Kopula, ada 5 macam : Adalah, ialah, yaitu, itu, merupakan.

P : Kata benda (tidak boleh kata sifat, kata keterangan, kata kerja).

Contoh :

1. Gedung MPR terletak 500 meter dari jembatan Semanggi.

Jawaban :

1. Cari P (kata bendanya dulu) : Gedung MPR atau Jembatan Semanggi,

2. Pasang K (kopula) yang cocok : adalah

3. Bentuk S (subjek) yang relevan : (lihat contoh)

4. Cari bentuk Q – nya yang sesuai.

Benar :

Sebuah + gedung yang terletak 500 meter dari jembatan Semanggi + adalah + gedung MPR.

Salah

500 meter + dari jembatan Semanggi + adalah + gedung MPR.

Fungsi

Relasi atau perkawanan adalah pemasangan anggota dari suatu himpunan ke himpunan yang lain. Fungsi merupakan relasi khusus, relasi dari himpunan A ke himpunan B dapat dikatakan fungsi jika setiap anggota pada himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota himpunan B. Himpunan A disebut daerah asal atau domain dan himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain, sedangkan himpunan semua anggota himpunan di B yang menjadi peta dari anggota himpunan A disebut range.

Macam-macam Fungsi :

Fungsi Aljabar : semua fungsi yang menggunakan operasi perhitungan secara aljabar disebut fungsi aljabar, misalnya fungsi kuadrat, fungsi pecahan, fungsi linier dan sebagainya.

Fungsi Eksponen : fungsi eksponen adalah fungsi perpangkatan dengan variabel bebas sebagai pangkatnya. misalnya f(x) = 2x

      

Fungsi Eksplisit : fungsi eksplisit adalah fungsi yang dapat dibedakan dengan jelas antara variabel bebas dan variabel tidak bebas. contohnya y = 2x - 5 , dalam fungsi ini x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel tidak terbatas, nilai y ditentukan oleh besarnya nilai x, sehingga dapat terlihat dengan jelas perbedaan kedua variabel tersebut.

Funsi Implisit : fungsi implisit merupakan lawan dari fungsi eksplisit jadi pada fungsi implisist perbedaan antara variaabel bebas dan variabel tidak bebas tidak dapat dibedakan dengan jelas. contohnya f(x,y) = 3x + 4y.

Fungsi Ganjil : suatu fungsi dikatakan ganjil jika dan hanya jika f(-x) = - f(x).

Fungsi Genap : suatu fungsi dikatakan genap jika dan hanya jika f(-x) = f(x). fungsi genap merupakan lawan dari fungsi ganjil.

Fungsi Goniometri : fungsi goniometri juga disebut fungsi trigonometri yaitu fungsi yang memetakan besar sudut dengan bilangan aljabar atau sebaliknya. contohnya y = sin x.

Fungsi Identitas : fungsi identitas dilambangkan dengan notasi "I", yaitu fungsi yang memetakan setiap anggota domain dengan dirinya sendiri.

Fungsi Into : fungsi into juga disebut fungsi kedalam atau fungsi injektif atau fungsi satu-satu yaitu fungsi yang  memetakan setiap anggota domain dengan tepat sati kawan yang berbeda pada kodomain.

Fungsi Onto : fungsi onto juga disebut fungsi surjektif atau fungsi kepada yaitu suatu fungsi yang setiap anggota daerah hasil merupakan peta dari daerah asal.

Fungsi Bijektif : fungsi bijektif disebut juga fungsi satu-satu kepada yaitu gabungan dari fungsi satu-satu dan fungsi kepada yaitu fungsi yang memetakan setiap anggota domain dengan tepat satu kawan pada kodomain dan setiap anggota kodomain adalah peta dari domain.

Relasi

Galileo Galilei (1564-1642) merupakan salah satu astronom terkenal dari Italia yang dikenal luas dengan penemuannya tentang hubungan yang sangat teratur antara tinggi suatu benda yang dijatuhkan dengan waktu tempuhnya menuju tanah.

Konsep “fungsi” terdapat hampir dalam setiap cabang matematika, sehinggamerupakan suatu yang sangat penting artinya dan banyak sekali kegunaannya. Akan tetapi pengertian dalam matematika agak berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari.Dalam pengertian sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau manfaat. Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) terlihat di atas digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan.

Mengingat konsep fungsi menyangkut hubungan atau kaitan dari dua himpunan, maka disini kita awali dulu pembicaraan kita mengenai fungsi dengan hubungan atau relasi antara dua himpunan.

A.Pengertian Relasi

Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B. Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B. didefinisikan sebagai berikut :

Definisi: Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B.

B.Sifat Fungsi

Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat fungsi yakni sebagai berikut :

1. Injektif (Satu-satu)

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu

(injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠ f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’)

maka akibatnya a = a’.

2. Surjektif (Onto)

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B. Apabila f(A) = B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A Onto B”.

3.Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”

D.Jenis – jenis Fungsi

Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalnya D, maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk fungsi-fungsi pada R kita kenal beberapa fungsi antara lain sebagai berikut.

a. Fungsi Konstan

b. Fungsi Identitas

c. Fungsi Linear

d. Fungsi Kuadrat

e. Fungsi Rasional